Свежая работа: Школьный этап Сириус по Математике для 11 класса (2 группа, 13 октября 2026). Задания идут по порядку, как в оригинале. Ответ к каждому заданию — по кнопке «Открыть ответ к заданию» под ним. Площадка проведения: uts.sirius.
Авторские решения к этой работе доступны для покупки на нашем сайте:
→ Получить и скачать полные ответы и задания
Олимпиада ВсОШ по Математике 11 класс 2 группа
📌 Задание 1 Вариант 1.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 7n)°) · cos((n² + 7n)°) < 0?
Вариант 2.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 11n)°) · cos((n² + 11n)°) < 0?
Вариант 3.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 5n)°) · cos((n² + 5n)°) < 0?
Вариант 4.
При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 3n)°) · cos((n² + 3n)°) < 0?
🔑 Открыть ответ к заданию
📌 Задание 2 Вариант 1.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₅₀.
Вариант 2.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₅₀.
Вариант 3.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₀₀.
Вариант 4.
Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₀₀.
🔑 Открыть ответ к заданию
📌 Задание 3 Вариант 1.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 20, а их медиана равна 23. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 2.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 17, а их медиана равна 20. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 3.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 15, а их медиана равна 18. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
Вариант 4.
Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 22, а их медиана равна 25. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.
🔑 Открыть ответ к заданию
📌 Задание 4 Вариант 1.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 4, а SC = 2 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 2.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 8, а SC = 4 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 3.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 10, а SC = 5 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
Вариант 4.
Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 2, а SC = 1 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.
🔑 Открыть ответ к заданию
📌 Задание 5 Вариант 1.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 6)x + 4m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 5)x + 3m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 7)x + 5m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4.
Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 9)x + 7m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
🔑 Открыть ответ к заданию
📌 Задание 6 Вариант 1.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 80. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 79 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 2.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 140. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 139 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 3.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 120. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 119 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
Вариант 4.
На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 100. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 99 клеток так, чтобы среди них не было соседних?
🔑 Открыть ответ к заданию
📌 Задание 7 Вариант 1.
В треугольнике ABC ∠ABC = 55°, ∠BAC = 63°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 2.
В треугольнике ABC ∠ABC = 54°, ∠BAC = 67°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 3.
В треугольнике ABC ∠ABC = 53°, ∠BAC = 66°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
Вариант 4.
В треугольнике ABC ∠ABC = 57°, ∠BAC = 65°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.
🔑 Открыть ответ к заданию
📌 Задание 8 Вариант 1.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 1, 2, 3, 4. Найдите P(1).
Вариант 2.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 2, 3, 4. Найдите P(1).
Вариант 3.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 4. Найдите P(1).
Вариант 4.
Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 5. Найдите P(1).
🔑 Открыть ответ к заданию
#ВсОШ2026 #ВсОШ #ШкольныйЭтап #ОтветыВсОШ #ЗаданияВсОШ #ОфициальныеОтветы #РеальныеЗадания #Олимпиада2026 #ВсероссийскаяОлимпиада #ВсОШВсеРегионы #ВсОШРегионы #ВсОШВсеПредметы #Ответы2026 #Задания2026 #ШкольныйЭтапВсОШ #ВсОШМатематика